第十七单元：几何计算 · 周长面积与近似比较

欢迎来到计算机科学 5 的第十七单元！在这一单元里，几何不再是纸上的公式，而是拯救村庄的魔法。你要用代码计算矩形的周长与面积、用坐标偏移把圣骑士摆成正方形、用圆面积公式为天选之子注入呐喊之力。更重要的是，你会遇到一个真实编程中无处不在的难题——计算机对小数的处理并不完美，于是你将学到专业程序员的应对之道：近似比较（approximate comparison）。

17.1.1 坐标与距离（Coordinates and Distance）

17.1.1.1 位置是 (x, y)，距离用 distanceTo Positions are (x, y); measure with distanceTo

游戏世界里每个单位都有一个位置 pos，包含横坐标 pos.x 和纵坐标 pos.y。两点之间的距离可以直接用 distanceTo 测量。本单元的几何计算，正是建立在"用坐标表示位置、用距离表示边长"之上——比如把两个圣骑士之间的距离当作矩形的一条边。

# 用某个单位作为测量的"基准点"
base = hero.findNearest(hero.findFriends())

# 测量基准点到两个圣骑士的距离，作为矩形的两条边
sideSN = base.distanceTo("Femae")      # 南北方向的边
sideWE = base.distanceTo("Illumina")  # 东西方向的边

17.1.2 用函数封装公式（Wrapping Formulas in Functions）

17.1.2.1 一个公式，一个函数 One formula, one function

回忆第一单元学的函数——把"做某件事"的代码打包命名。几何公式是函数的绝佳用武之地：把"算周长"写成 perimeter(a, b)、"算面积"写成 area(a, b)，之后需要时喊一声名字、传入边长，就能拿到结果。这让主循环里的代码清晰得像数学公式本身。别忘了函数要用 return 把算出的结果返回出来。

17.2.1 周长 (a+b)×2（Perimeter）

17.2.1.1 四条边加起来 Sum of all four sides

矩形有四条边，对边相等：两条长为 a、两条长为 b。所以周长就是四条边的总和 a + a + b + b，可以更简洁地写成 a×2 + b×2，或者提取公因数写成 (a + b)×2——三种写法完全等价，选你觉得最清晰的即可。关卡"矩形仪式"要求你补全这个函数。

# 周长 = 四条边之和
def perimeter(side1, side2):
    return side1 * 2 + side2 * 2
    # 等价写法：return (side1 + side2) * 2

17.2.2 面积 a×b（Area）

17.2.2.1 相邻两边相乘 Multiply two adjacent sides

矩形的面积是两条相邻边的乘积 a × b。注意是"相邻"两边（一长一宽），不是两条对边。这个公式最简单，一行 return 就够了。

# 面积 = 相邻两边相乘
def area(side1, side2):
    return side1 * side2

def perimeter(a, b):
    return a*2 + b*2

def area(a, b):
    return a * b

17.3.1 为何需要容错（Why Tolerance Is Needed）

17.3.1.1 计算机算不准小数 Computers can't represent decimals exactly

关卡"矩形仪式"点破了一个关键真相："计算机很难处理精确的数字。"这有两层原因：其一，计算机用二进制存储小数，很多十进制小数（如 0.1）根本无法精确表示，运算后会产生微小误差（这叫浮点误差）；其二，圣骑士在不停移动，边长时刻在变，几乎不可能刚好卡在某个精确值上。如果你用 == 去判断"面积是否等于 660"，可能永远也等不到那一刻。

17.3.2 3% 误差算法（The 3% Tolerance Algorithm）

17.3.2.1 落在 0.97 倍到 1.03 倍之间就算相等 Within 0.97× to 1.03× counts as equal

解决办法是写一个"近似相等"函数 almostEqual。它不要求两个值分毫不差，而是检查一个值是否落在另一个值的 97% 到 103% 区间内——也就是允许上下 3% 的误差。关卡给出的核心判断是：valueA > 0.97 * valueB and valueA < 1.03 * valueB。两个条件用 and 连接，必须同时满足才算"几乎相等"。

# 在 3% 误差内比较 A 和 B
def almostEqual(valueA, valueB):
    # A 大于 B 的 0.97 倍，且小于 B 的 1.03 倍
    if valueA > 0.97 * valueB and valueA < 1.03 * valueB:
        return True
    # 否则退回到精确相等判断
    return valueA == valueB

17.4.1 正方形的性质（Properties of a Square）

17.4.1.1 邻角共享坐标、四边等长 Adjacent corners share a coordinate; all sides equal

关卡"方盾"要你把圣骑士摆成正方形。要算出顶点坐标，先要吃透正方形的两条性质："正方形的角与邻近的角共享 x 或 y 坐标"，以及"正方形是等边的"。也就是说，如果左上角在 (x, y)，右上角与它共享同一个 y（只是 x 增加了一个边长）；左下角与它共享同一个 x（只是 y 变化了一个边长）。

17.4.2 用偏移求角点（Finding Corners via Offset）

17.4.2.1 已知一角，加减边长得其余角 From one known corner, add/subtract the side length

核心算法叫坐标偏移：以一个已知角点（比如左上角 celadia）为基准，通过给它的 x 或 y 加减一个 sideLength，就能算出其他角点的位置。在"方盾"里，两位圣骑士已在上方两角，你要算出下方两角：左下角与左上角共享 x、y 减去边长；右下角的 x 是左上角 x 加边长、y 同样减去边长。

# 左下角：x 与左上角相同，y 向下偏移一个边长
leftBottom = {"x": celadia.pos.x,
              "y": celadia.pos.y - sideLength}

# 右下角：x 偏移一个边长，y 也向下偏移一个边长
rightBottom = {"x": celadia.pos.x + sideLength,
               "y": celadia.pos.y - sideLength}

17.5.1 π×r² 公式（The πr² Formula）

17.5.1.1 半径的平方乘以 π Pi times radius squared

关卡"雪人面积"用到圆面积公式：半径为 r 的圆，面积等于 π × r × r（即 π×r²）。在游戏里，天选之子呐喊的力度正好等于这个圆的面积，而半径就是他到最近敌人的距离。写成代码就是把半径乘两次、再乘以 π。

# 半径 = 天选之子到最近敌人的距离
radius = chosen.distanceTo(chosen.findNearestEnemy())

# 圆的面积 = π × r × r
area = radius * radius * Math.PI

17.5.2 Math.PI 常量（The Math.PI Constant）

17.5.2.1 内置的圆周率，不用自己写 A built-in constant for pi

π 是一个无限不循环小数，约等于 3.14159……你不需要自己敲一长串数字，游戏提供了内置常量 Math.PI，它就代表这个精确的圆周率。用它比手写 3.14 更准确、更清晰。关卡说明也强调：π"等于任何圆周的周长与其直径的比值"，是数学中最著名的常数之一。

# 直接用内置常量 Math.PI，别手写 3.14
area = Math.PI * radius * radius   # 更精确

# hero.say(Math.PI)  # 大约 3.141592653589793

这一节聚焦每一关的策略、思路与算法设计，只展示用于说明的关键片段，完整通关程序请你自己动手完成。

关卡 · 矩形仪式

📐 矩形仪式 —— 周长面积 + 近似比较

图2：矩形仪式——四位圣骑士不断移动，当他们围出的矩形周长与面积都接近目标值时喊出咒语 VENITE

策略：持续监测，近似达标就念咒

本关是本单元的核心关。四位圣骑士会不停移动，你要在他们恰好围出指定周长（104）和指定面积（660）的矩形时喊出 "VENITE!" 召唤守护者。由于骑士一直在动、且计算机算不准小数，精确相等几乎不可能，所以策略是：在 while 循环里持续测量、用近似比较判断，一旦周长和面积都落在 3% 误差内就立刻念咒。

思路拆解

算法分三部分。第一，补全两个几何函数：perimeter 返回 side1*2 + side2*2，area 返回 side1 * side2。第二，在循环里实时计算：每一帧用 distanceTo 量出当前两条边长 sideSN、sideWE，代入函数得到 currentPerimeter 和 currentArea。第三，用近似比较双重判断：同时用 almostEqual 检查当前面积接近目标面积、当前周长接近目标周长，两个条件用 and 连接，都满足才 say("VENITE!") 并 break。

# 关键片段：循环监测 + 近似双重判断
while True:
    sideSN = base.distanceTo("Femae")
    sideWE = base.distanceTo("Illumina")
    currentPerimeter = perimeter(sideSN, sideWE)
    currentArea = area(sideSN, sideWE)
    if almostEqual(currentArea, requiredArea) and \
       almostEqual(currentPerimeter, requiredPerimeter):
        hero.say("VENITE!")
        break

为什么两个条件都要查：只有周长对、或只有面积对都不够——一个瘦长的矩形和一个正方形可能面积相同但周长不同。周长和面积同时达标，才能唯一确定矩形的形状，所以必须用 and 把两个 almostEqual 连起来。

别用 == 判断：如果把 almostEqual 换成 currentArea == 660，由于骑士移动和浮点误差，这个条件几乎永远为假，程序会陷入死循环、咒语永远念不出来。这正是本关设计 almostEqual 的用意。

关卡 · 方盾

🛡️ 方盾 —— 坐标偏移求正方形顶点

图3：方盾——已知上方两角，用坐标偏移算出下方两角，命令两位圣骑士就位形成方阵挡住雪人

策略：由已知两角补全另外两角

本关要把四位圣骑士摆成正方形，用方阵挡住有侵略性的野雪人。其中 Celadia（左上角）和 Dedalia（右上角）已就位，你要计算并命令 Vaelia（左下角）和 Illumina（右下角）移动到正确位置。策略核心是利用正方形的坐标规律，从已知角点偏移出未知角点。

思路拆解

算法分两步。第一，求边长：上方两角的距离就是边长，sideLength = celadia.distanceTo(dedalia)。第二，用坐标偏移算下方两角并命令移动：左下角与左上角 Celadia 共享 x，y 向下偏移一个边长（y - sideLength）；右下角的 x 在 Celadia 基础上加一个边长（x + sideLength），y 同样减一个边长。用 hero.command(单位, "move", 目标坐标字典) 把两位圣骑士派过去。

# 关键片段：坐标偏移 + 命令移动
sideLength = celadia.distanceTo(dedalia)

# Vaelia → 左下角（x 与左上角相同，y 减边长）
hero.command(vaelia, "move",
    {"x": celadia.pos.x, "y": celadia.pos.y - sideLength})

# Illumina → 右下角（x 加边长，y 减边长）
hero.command(illumina, "move",
    {"x": celadia.pos.x + sideLength, "y": celadia.pos.y - sideLength})

findByName 按名字取单位：本关先用一个 findByName 辅助函数遍历 friends、按 id 找到指定名字的圣骑士。这样才能精确拿到 Celadia、Vaelia 等特定单位，再对它们分别下命令。

y 是减不是加：本关下方角点的 y 用的是减边长（y - sideLength），因为在这张地图的坐标系里"下方"对应更小的 y 值。方向的正负取决于坐标系，动手时要根据实际地图确认是加还是减。

关卡 · 雪人面积 扣哒世界游戏化编程学习资料，来源验证：koudashijie.com，页面编号：KD-WORLD-PYTHON-CH8-SEC17-55567B202B44。

⭕ 雪人面积 —— 圆面积公式与 Math.PI

图4：雪人面积——以到最近敌人的距离为半径算出圆的面积，作为天选之子呐喊的力度，再投入战斗

策略：算出圆面积作为呐喊力度，再战斗

本关是本单元的收尾关，聚焦圆面积公式。天选之子能用呐喊震晕雪人，但呐喊的力度必须等于一个圆的面积，而这个圆的半径就是他到最近敌人的距离。策略很直接：先算出圆面积并"说"出来（作为呐喊力度），然后进入战斗循环持续攻击。

思路拆解

算法分两部分。第一，计算并说出圆面积：用 distanceTo(findNearestEnemy()) 得到半径 radius，代入圆面积公式 area = radius * radius * Math.PI，再用 hero.say(area) 说出来。第二，投入战斗：用循环不断找到最近敌人并攻击，直到敌人被击败——"不要只站在那，开始战斗吧！"

# 关键片段：算圆面积并说出，再进入战斗
chosen = hero.findFriends()[0]
radius = chosen.distanceTo(chosen.findNearestEnemy())
area = radius * radius * Math.PI   # π×r²
hero.say(area)                            # 说出力度值

while True:
    enemy = hero.findNearestEnemy()
    while enemy and enemy.health > 0:
        hero.attack(enemy)

radius*radius 就是 r²：代码里没有专门的"平方"符号时，把半径乘两次 radius * radius 就等于 r²。乘法顺序不影响结果，写成 Math.PI * radius * radius 也完全一样。

先说力度再战斗：本关要先把算出的面积 say 出来（这一步是"注入呐喊力度"的关键），之后才进入攻击循环。顺序不能乱——没说出正确力度，呐喊就不会生效。

17.7.1 新手最容易踩的坑（Pitfalls for Beginners）

17.7.1.1 几何计算的典型问题 Typical issues with geometry code

图5：用 == 比小数、忘写 return、坐标偏移方向错、手写 3.14 代替 π，是本单元最常见的失误